Вероятность и статистика. 10 класс

1

Вероятность и статистика. 10 класс

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа по учебному предмету «Вероятность и статистика»
разработана в соответствии с:
— Федеральным законом от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в
Российской Федерации» (в действующей редакции);
— приказом Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413 (ФГОС СОО, в
действующей редакции);
— федеральной образовательной программой (приказ Минпросвещения
России от 18.05.2023 № 371, в действующей редакции), включая
федеральную рабочую программу по учебному предмету «Вероятность и
статистика»;
— положением о рабочей программе образовательной организации.
Учебный курс «Вероятность и статистика» углубленного уровня
является продолжением и развитием одноименного учебного курса
углубленного уровня на уровне среднего общего образования. Учебный курс
предназначен для формирования у обучающихся статистической культуры и
понимания роли теории вероятностей как математического инструмента для
изучения случайных событий, величин и процессов. При изучении курса
обогащаются представления обучающихся о методах исследования
изменчивого мира, развивается понимание значимости и общности
математических методов познания как неотъемлемой части современного
естественно-научного мировоззрения.
Содержание учебного курса направлено на закрепление знаний,
полученных при изучении курса на уровне основного общего образования, и
на развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между
ними на важных примерах, сюжеты которых почерпнуты из окружающего
мира. В результате у обучающихся должно сформироваться представление о
наиболее употребительных и общих математических моделях, используемых
для описания антропометрических и демографических величин,
погрешностей в различные рода измерениях, длительности безотказной
работы технических устройств, характеристик массовых явлений и процессов
в обществе. Учебный курс является базой для освоения вероятностностатистических методов, необходимых специалистам не только инженерных
специальностей, но также социальных и психологических, поскольку
современные общественные науки в значительной мере используют аппарат
анализа больших данных. Центральную часть учебного курса занимает
обсуждение закона больших чисел – фундаментального закона природы,
имеющего математическую формализацию.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса
«Вероятность и статистика» на углубленном уровне выделены основные
содержательные линии: «Случайные события и вероятности» и «Случайные
величины и закон больших чисел».
2

Вероятность и статистика. 10 класс

Помимо основных линий в учебный курс включены элементы теории
графов и теории множеств, необходимые для полноценного освоения
материала данного учебного курса и смежных математических учебных
курсов.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит
основой для формирования представлений о распределении вероятностей
между значениями случайных величин. Важную часть в этой содержательной
линии занимает изучение геометрического и биномиального распределений и
знакомство с их непрерывными аналогами – показательным и нормальным
распределениями.
Темы,
связанные
с
непрерывными
случайными
величинами и распределениями, акцентируют внимание обучающихся на
описании и изучении случайных явлений с помощью непрерывных функций.
Основное
внимание
уделяется
показательному
и
нормальному
распределениям.
В учебном курсе предусматривается ознакомительное изучение связи
между случайными величинами и описание этой связи с помощью
коэффициента корреляции и его выборочного аналога. Эти элементы
содержания развивают тему «Диаграммы рассеивания», изученную на уровне
основного общего образования, и во многом опираются на сведения из
курсов алгебры и геометрии.
Еще один элемент содержания, который предлагается на
ознакомительном уровне – последовательность случайных независимых
событий, наступающих в единицу времени. Ознакомление с распределением
вероятностей количества таких событий носит развивающий характер и
является актуальным для будущих абитуриентов,
поступающих
на
учебные
специальности,
связанные с общественными науками,
психологией и управлением.
Общее число часов, рекомендованных для изучения учебного курса
«Вероятность и статистика» на углубленном уровне, – 68 часов: в 10 классе –
34 часа (1 час в неделю), в 11 классе – 34 часа (1 час в неделю).

3

Вероятность и статистика. 10 класс

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность)
вершины. Графы на плоскости. Деревья.
Случайные
эксперименты
(опыты)
и
случайные
события.
Элементарные события (исходы). Вероятность случайного события. Близость
частоты и вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными
элементарными событиями.
Операции
над
событиями:
пересечение,
объединение,
противоположные события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения
вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые
события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Перестановки
и факториал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома
Ньютона.
Серия независимых испытаний Бернулли. Случайный выбор из
конечной совокупности.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма
распределения. Операции над случайными величинами. Бинарная случайная
величина. Примеры распределений, в том числе геометрическое и
биномиальное.
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые
случайные величины.
Математическое ожидание случайной величины (распределения).
Примеры применения математического ожидания (страхование, лотерея).
Математическое ожидание бинарной случайной величины. Математическое
ожидание суммы случайных величин. Математическое ожидание
геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины
(распределения). Дисперсия бинарной случайной величины. Математическое
ожидание произведения и дисперсия суммы независимых случайных
величин.
Дисперсия
и
стандартное
отклонение
биномиального
распределения. Дисперсия и стандартное отклонение геометрического
распределения..

4

Вероятность и статистика. 10 класс

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного
и ответственного члена российского общества, представление о
математических основах функционирования различных структур, явлений,
процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением; 2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики; 3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применением достижений науки и деятельностью ученого, осознание
личного вклада в построение устойчивого будущего; 4) эстетического
воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость
к математическим аспектам различных видов искусства; 5) физического
воспитания:
сформированность умения применять математические знания в
интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование
при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью; 6) трудового
воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к
различным сферам профессиональной деятельности, связанным с
математикой и ее приложениями, умение совершать осознанный выбор
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы,
готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному
участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социальноэкономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация
на применение математических знаний для решения задач в области
5

Вероятность и статистика. 10 класс

окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды; 8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, понимание
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов ее
развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком
математики и математической культурой как средством познания мира,
готовность осуществлять проектную и исследовательскую деятельность
индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В результате изучения математики на уровне среднего общего
образования у обучающегося будут сформированы познавательные
универсальные учебные действия, коммуникативные универсальные учебные
действия, регулятивные универсальные учебные действия, совместная
деятельность.
Познавательные универсальные учебные действия Базовые логические
действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять
математические
закономерности,
взаимосвязи
и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать
критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить
самостоятельно
доказательства
математических
утверждений (прямые и от противного), выстраивать аргументацию,
приводить примеры и контрпримеры, обосновывать собственные суждения и
выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учетом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать
свою позицию, мнение;

6

Вероятность и статистика. 10 класс

проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведенного наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях. Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и
форм представления;
структурировать информацию, представлять ее в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать
надежность
информации
по
самостоятельно
сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями
и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в
устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учетом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учетом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учетом новой информации.
Самоконтроль:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
7

Вероятность и статистика. 10 класс

оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять
причины достижения или недостижения результатов деятельности, находить
ошибку, давать оценку приобретенному опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять
виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы,
обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и
координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным
участниками взаимодействия.
Предметные результаты освоения федеральной рабочей программы по
математике представлены по годам обучения в рамках отдельных учебных
курсов в соответствующих разделах настоящей программы.
ФЕДЕРАЛЬНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 10 класса обучающийся научится:
К концу 10 класса обучающийся научится:
свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф,
путь в графе, цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного
эксперимента;
свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт),
случайное событие, элементарное случайное событие (элементарный исход)
случайного опыта, находить вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями;
находить и формулировать события: пересечение, объединение данных
событий, событие, противоположное данному, использовать диаграммы
Эйлера,
координатную прямую для решения задач, пользоваться формулой
сложения вероятностей для вероятностей двух и трех случайных событий;
оперировать
понятиями:
условная
вероятность,
умножение
вероятностей, независимые события, дерево случайного эксперимента,
находить вероятности событий с помощью правила умножения, дерева
случайного опыта, использовать формулу полной вероятности, формулу
Байеса при решении задач, определять независимость событий по формуле и
по организации случайного эксперимента;

8

Вероятность и статистика. 10 класс

применять изученные комбинаторные формулы для перечисления
элементов множеств, элементарных событий случайного опыта, решения
задач по теории вероятностей;
свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача, независимые испытания, серия испытаний,
находить вероятности событий: в серии испытаний до первого успеха, в
серии испытаний Бернулли, в опыте, связанном со случайным выбором из
конечной совокупности;
свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина,
геометрическое, биномиальное распределение;
оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных
величин, использовать таблицу совместного распределения двух случайных
величин для выделения распределения каждой величины, определения
независимости случайных величин;
свободно оперировать понятием математического ожидания случайной
величины (распределения), применять свойства математического ожидания
при решении задач, вычислять математическое ожидание биномиального и
геометрического распределений;
свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение
случайной величины, применять свойства дисперсии случайной величины
(распределения) при решении задач, вычислять дисперсию и стандартное
отклонение геометрического и биномиального распределений.
К концу 11 класса обучающийся научится:
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики генеральной совокупности данных по выборочным
характеристикам. Оценивать вероятности событий и проверять простейшие
статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями;
приводить примеры задач, приводящих к показательному
распределению, задач, приводящих к нормальному распределению.
Оперировать понятиями: функция плотности вероятности показательного
распределения, функция плотности вероятности нормального распределения,
функция плотности и свойства нормального распределения;
определять коэффициент линейной корреляции, выборочный
коэффициент корреляции.

9

Вероятность и статистика. 10 класс

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п/п

Наименование
разделов и тем
учебного предмета

Количество
часов

Элементы теории
графов

3

Случайные
опыты, случайные
события и
вероятности
событий

3

Операции над
множествами и
событиями.
Сложение и
умножение
вероятностей.
Условная
вероятность.
Независимые
события

5

Элементы
комбинаторики

4

Программное содержание

Граф, связный граф,
представление задачи с
помощью графа. Степень
(валентность) вершины.
Путь в графе. Цепи и
циклы. Графы на
плоскости. Дерево
случайного эксперимента

Основные виды деятельности
обучающихся

Представлять объекты и
связи между ними с
помощью графа, находить
пути между вершинами
графа. Выделять в графе
цепи и циклы. Строить
дерево по описанию
случайного опыта,
описывать случайные
события в терминах
дерева. Решать задачи с
помощью графов
Случайные эксперименты Выделять и описывать
(опыты) и случайные
случайные события в
события. Элементарные случайном опыте.
события (исходы).
Формулировать условия
Вероятность случайного проведения случайного
события. Вероятности
опыта. Находить
событий в опытах с
вероятности событий в
равновозможными
опытах с
элементарными
равновозможными
событиями
элементарными исходами
Пересечение, объединение Использовать диаграммы
множеств и событий,
Эйлера и вербальное
противоположные
описание событий при
события. Формула
выполнении операций над
сложения вероятностей
событиями. Оценивать
Условная вероятность.
изменение вероятностей
Умножение вероятностей. событий по мере
Формула условной
наступления других
вероятности. Формула
событий в случайном
полной вероятности.
опыте. Решать задачи, в
Формула Байеса.
том числе с
Независимые события
использованием дерева
случайного опыта, формул
сложения и умножения
вероятностей
Комбинаторное правило Формулировать и
умножения. Перестановки доказывать
и факториал. Число
комбинаторные факты.
сочетаний. Треугольник Использовать правило
Паскаля. Формула бинома умножения, изученные
Ньютона
комбинаторные формулы
для перечисления
элементов различных
множеств, в том числе
10

Вероятность и статистика. 10 класс
№
п/п

Наименование
разделов и тем
учебного предмета

Количество
часов

Серии
последовательных
испытаний.
Испытания
Бернулли.
Случайный выбор
из конечной
совокупности

5

Случайные
величины и
распределения

14

Программное содержание

Основные виды деятельности
обучающихся

элементарных событий в
случайном опыте.
Пользоваться формулой и
треугольником Паскаля
для определения числа
сочетаний. Применять
формулу бинома Ньютона
для преобразования
выражений
Бинарный случайный
Разбивать сложные
опыт (испытание), успех и эксперименты на
неудача. Независимые
отдельные испытания.
испытания. Серия
Решать задачи на поиск
независимых испытаний вероятностей событий в
до первого успеха. Серия серии испытаний до
независимых испытаний первого успеха и в сериях
Бернулли. Случайный
испытаний Бернулли, а
выбор из конечной
также в опытах со
совокупности.
случайным выбором из
Практическая работа с
конечной совокупности с
использованием
использованием
электронных таблиц
комбинаторных фактов и
формул, в том числе в
ходе практической работы
с применением
стандартных функций
Случайная величина.
Осваивать понятия:
Распределение
случайная величина,
вероятностей. Диаграмма распределение, таблица
распределения. Операции распределения, диаграмма
над случайными
распределения. Находить
величинами. Примеры
значения суммы и
распределений. Бинарная произведения случайных
случайная величина.
величин. Строить
Геометрическое
бинарные распределения
распределение.
по описанию событий в
Биномиальное
случайных опытах.
распределение.
Строить и распознавать
Математическое ожидание геометрическое и
случайной величины.
биномиальное
Совместное распределение распределения. Решать
двух случайных величин. задачи на вычисление
Независимые случайные математического
величины. Свойства
ожидания. Строить
математического
совместные
ожидания.
распределения. Изучать
Математическое ожидание свойства математического
бинарной случайной
ожидания. Решать задачи с
величины.
помощью изученных
Математическое ожидание свойств. По изученным
11

Вероятность и статистика. 10 класс
№
п/п

Наименование
разделов и тем
учебного предмета

Итого по разделу
ОБЩЕЕ
КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

Количество
часов

34
34

Программное содержание

Основные виды деятельности
обучающихся

геометрического и
формулам находить
биномиального
математические ожидания
распределений. Дисперсия случайных величин,
и стандартное отклонение. имеющих геометрическое
Дисперсия бинарной
и биномиальное
случайной величины.
распределения Осваивать
Свойства дисперсии.
понятия: дисперсия,
Математическое ожидание стандартное отклонение
произведения и дисперсия случайной величины.
суммы независимых
Находить дисперсию по
случайных величин.
распределению. Изучать
Дисперсия биномиального свойства дисперсии. По
распределения.
изученным формулам
Практическая работа с
находить дисперсию
использованием
биномиального
электронных таблиц
распределения, в том
числе в ходе практической
работы

12

Вероятность и статистика. 10 класс

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
урока

1
2
3
4
5
6
7
8

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

Тема урока

Граф, связный граф,
представление задачи с
помощью графа
Путь в графе
Графы на плоскости
Случайные эксперименты
(опыты) и случайные
события
Элементарные события
(исходы)
Вероятность случайного
события
Пересечение, объединение
множеств и событий,
противоположные события
Формула сложения
вероятностей Условная
вероятность
Умножение вероятностей
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Комбинаторное правило
умножения
Перестановки и факториал
Число сочетаний
Треугольник Паскаля
Бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача
Независимые испытания
Серия независимых
испытаний до первого успеха
Серия независимых
испытаний Бернулли
Случайный выбор из
конечной совокупности
Случайная величина
Распределение вероятностей
Диаграмма распределения
Примеры распределений
Бинарная случайная
величина
Биномиальное распределение
Математическое ожидание
случайной величины
Независимые случайные
величины
Свойства математического

Количество
часов

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

13

Контрольные
работы

Практические
работы

Дата
изучения

Вероятность и статистика. 10 класс
№
урока

Тема урока

ожидания
30 Математическое ожидание
бинарной случайной
величины
31 Дисперсия и стандартное
отклонение
32 Дисперсия бинарной
случайной величины
33 Математическое ожидание
произведения и дисперсия
суммы независимых
случайных величин
34 Дисперсия биномиального
распределения
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
ПО ПРОГРАММЕ

Количество
часов

1
1
1
1

1
34

14

Контрольные
работы

Практические
работы

Дата
изучения

Вероятность и статистика. 10 класс

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
ПРОЦЕССА
1. Учебник по предмету «Вероятность и статистика», включённый в
федеральный перечень учебников (ФПУ).
2. Электронные образовательные ресурсы ФГИС «Моя школа»,
Библиотека цифрового образовательного контента (ЦОК).
3. Дидактические и контрольно-измерительные материалы.

https://m.edsoo.ru

15